Une permutation

Énoncé

Arthur choisit tous les jours son dessert avec la règle suivante.

• Si le jour précédent il a pris une crème, alors il prend une glace.
  
• Si le jour précédent il a pris une glace, alors il prend un yaourt.
  
• Si le jour précédent il a pris un yaourt, alors il prend une crème.
  

Lundi  il a choisit un yaourt.

1. Vérifier que l'évolution des desserts qu'il choisit suit une chaîne de Markov  \((X_n)_{(n\in\mathbb{N^*})}\) .

2. Montrer qu'il existe une unique distribution invariante \(X\)  que l'on déterminera. La suite  \((X_n)_{(n\in\mathbb{N^*})}\)  converge-t-elle vers  \(X\)  ?

3. Pourquoi pouvait-on conjecturer ce résultat ?